TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO
Son operaciones geométricas que nos permiten obtener una figura nueva a partir de otra dada, estableciéndose correspondencias entre las figuras y sus elementos (puntos, rectas…)
Denominaremos elementos dobles o invariantes aquellos que permanecen igual antes y después de la transformación.
CLASIFICACIÓN
CONFORMES.Transformaciones isométricas.
Se conservan tras la transformación las magnitudes y los ángulos de la figura original
Igualdad e identidad
Traslación
Simetría
Giro
NO CONFORMES.Transformaciones anamórficas
La figura obtenida es totalmente diferente a la de partida.
Inversión
Transformaciones proyectivas
Se caracterizan por introducir elementos del infinito (o impropios), como son el punto impropio o punto del infinito de una recta que no es sino la dirección de la recta y de todas sus paralelas; la recta impropia o recta del infinito, que determina la orientación de uno o varios planos si son paralelos; y el plano del infinito, que es el conjunto de todos los puntos impropios y rectas impropias.
Homología
Homología afín o Afinidad
TRASLACIÓN
Es un movimiento rectilíneo según una dirección establecida por el que cada punto de una figura se desplaza la misma distancia.
Partimos de la figura ABCD y del vector de traslación AA’, al que vamos trazando paralelas por los vértices dados. Trasladamos la distancia del vector director desde B, C y D hasta cortar a las paralelas correspondientes. (Fig. 21)
SIMETRÍA
Dos figuras son simétricas respecto un punto (central) o una recta (axial) cuando, haciendo girar la figura sobre esta recta o punto, la transformada coincide exactamente sobre la figura dada.
Simetría central
A y A’ son simétricos respecto al centro de simetría O cuando están alineados con O y están a la misma distancia. OA=OA’. (Fig. 22)
En toda simetría central se verifica que una figura y su transformada tienen los lados homólogos paralelos y de sentido contrario.
Para construir una figura simétrica de la dada ABCDE, conocido el centro, se traza una recta que pase por uno de sus vértices y por O, trasladando la distancia a O en sentido contrario para obtener el simétrico. Trazamos rectas por el resto de los vértices y trazamos paralelas a los lados del polígono a partir del primer punto obtenido hasta que corten a las rectas correspondientes.
Simetría Axial
Dos puntos son simétricos respecto un eje cuando están sobre una perpendicular a este y equidistan de él. Se verifica que el eje es la mediatriz de dos puntos homólogos y que los puntos que conforman el eje de simetría son puntos dobles.
Para construir una figura simétrica de otra dada conocido el eje, se trazan perpendiculares al eje por cada uno de los vértices y se trasladas las distancias correspondientes. (Fig. 23)
Simetría Radial
Es aquellla que se produce en una circunferencia los puntos situados en los extremos de los diámetros de una circunferencia son simétricos.
GIRO
Un giro es una transformación que posibilita que un punto, recta o figura plana se mueva alrededor de un punto fijo O (centro de giro), en un sentido (positivo o negativo) y un ángulo determinado.
En un giro, los ángulos y distancias se mantienen y los segmentos mantienen su magnitud pero cambian de orientación.
Giro de una figura conociendo el centro y el ángulo de giro
Giraremos la figura ABCD (fig. 24). Unimos cualquiera de sus puntos (A) con el centro de giro y, obtenido el segmento OA, le trazamos el ángulo dado en el sentido indicado y, sobre esta semirrecta medimos la distancia OA a partir de A y obtenemos A’. Procedemos de igual modo con el resto de los vértices.
HOMOLOGÍA
Definición
La homología es una transformación geométrica de una figura en otra coplanaria (Fig 1), de manera que se correspondan punto a punto y recta a recta respetando las siguientes leyes:
-Dos puntos homólogos (A y A’) están alineados con un punto fijo (O) llamado centro de homología.
-Dos rectas homólogas (AC, A’C’) se cortan en un mismo punto (N, punto doble) en una recta fija llamada eje de homología.
Elementos de una Homología
Elementos:
1.Centro de Homología [O]
Es el punto de convergencia de las rectas que contienen a un punto y a su homólogo.
2.Eje de Homología [eje]
Es la recta doble formada por puntos que son homólogos de ellos mismos.
3.Puntos Homólogos [A-A’]
Son los que corresponden a la pareja de puntos formada por el inicial (A) y su transformado (A’).
4.Rectas límite [RL-RL’]
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen sus homólogos en el infinito. Hay dos recta límite, una para los puntos del espacio inicial A, B, C… y otra para los puntos de su espacio homólogo A’, B’, C’… Em ambos ‘lugares’ hay una serie de puntos que tienen su homólogo en el infinito. En esa ‘serie’ los puntos están alineados formando las rectas límite. Una –RL– para el conjunto de puntos inicial A, B, C… y otra –RL’– para el conjunto de puntos homólogos o transformados A’, B’, C’…
En una homología establecida, cualquier punto situado sobre estas rectas tendrá, por tanto, su homólogo en el infinito.
Son las rectas que definen el lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito que corresponden a las figuras inicial y transformada.
Siendo una homología una relación entre dos figuras, existen dos rectas límite, una por cada figura.
La distancia de una recta límite respecto al centro de homología es igual a la distancia de la otra recta límite respecto al eje de homología.
Determinación de rectas límite
Determinación de la recta límite del espacio inicial A, B, C… RL
Por el centro de homología se traza una recta paralela a un lado homólogo A’C’ y se prolonga el lado original AC hasta que corte a la paralela anterior en un punto X. Se traza por X una recta paralela al eje de homología, obteniendo así la recta límite RL. Figura 2
Determinación de la recta límite del espacio homólogo o transformado A’, B’, C’… RL’
La recta límite de la figura transformada A’, B’, C’… se determina siguiendo el mismo método aplicado a su homóloga A, B, C….
Como las rectas límites son siempre paralelas al eje de homología, también serán paralelas entre sí, además se puede comprobar en la figura 2 que la distancia entre una recta límite y el centro de homología es igual a la distancia que existe entre la otra recta límite y el eje.
AFINIDAD
La Afinidad es un caso particular de la Homología, denominamos así una homología cuando su centro se encuentra en el infinito.
Las rectas dobles son ahora paralelas entre sí pues concurren en este centro de homología situado en el infinito. El centro de homología es sustituido ahora por una dirección, la dirección de afinidad.
El eje de homología pasa a denominarse eje de afinidad, los puntos homólogos, puntos afines y las rectas homólogas, rectas afines que se cortan sobre el eje de afinidad en los puntos dobles.
La afinidad queda determinada si conocemos el eje de afinidad, la dirección y un punto afín o razón de afinidad K (A’X/AX), relación de las distancias de dos puntos afines al origen de distancias (eje). Fig. 10
Elementos:
1.Rectas dobles: AA’, BB’.
2.Rectas afines: BA de A’B’
3.Puntos afines: A de A’.
4.Eje de afinidad: E.
5.Dirección de afinidad: AA’.
6.Razón de Afinidad: K = Ax / A’x.
Origen de distancias en el eje.
En el ejemplo trazamos la figura afín A’B’C’, de otra dada ABC, para una dirección AA’, un eje de afinidad y una razón (K = A’X/AX) predeterminadas.
Aplicaciones
Son numerosas las aplicaciones de la afinidad en geometría plana y proyectiva, como la verdadera magnitud mediante abatimiento de un polígono representado en SDO sobre un plano oblicuo, simplificando por afinidad.
Determinación de una afinidad
Para poder calcular una determinada figura afín de otra dada necesitamos saber, además de la figura, alguna de estas combinaciones:
El eje y un punto afín de la figura dada.
El eje, la dirección de afinidad y la razón de afinidad.
Dado el eje y dos puntos afines A, A’, calcular el afín de otro dado B
Unimos A con A’ y obtenemos la dirección de afinidad, por B pasamos una paralela a dicha dirección, sobre ella debe estar situado B’.
Unimos AB y obtenemos en su prolongación el punto M doble, en el eje. Desde M unimos con A’ obteniendo la recta afín de AB que en su intersección con la doble que pasa por B, determina B’. Figura 12
Obtener el punto afín de B, B’, en la afinidad determinada por AA’, si A, A’ y B están alineados.
Trabajamos con un punto auxiliar P exterior a la recta AA’, del que determinamos P’ de igual forma que en el ejercicio anterior. Calculamos el afín de B auxiliándonos de PP’. Figura 13
Obtención de una figura afín a otra dada
Definidas la dirección, eje y razón de afinidad, no representa ningún problema, pero a menudo tendremos que averiguar nosotros estos datos para conseguir una figura afín concreta de otra dada.
Cuadrado afín de un romboide dado ABCD
Para definir el sistema, aprovecharemos las propiedades angulares de los lados y diagonales del cuadrado. El ángulo ABC del romboide, debe transformarse en recto y el ángulo ABD en uno de 45º que es el ángulo que forma la diagonal del cuadrado con uno de sus lados.
Prolongamos los lados del romboide hasta cortar al eje de posición arbitraria en M y N, puntos dobles. Trazamos una circunferencia de diámetro MN y centro en el eje. El ángulo A’B’C’ debe tener su vértice B’ en esta circunferencia, arco capaz de 90º.
El ángulo ß ABD debe transformarse en uno de 45º, prolongamos la diagonal BD que corta en S al eje, con vértice en S trazamos un ángulo (NSX) que abarque un central 2x45º=90º, prolongando el lado XS obtenemos B’ sobre la circunferencia. NB’S por ser inscrito vale la mitad que el central NOX comprendido entre sus lados, como el central vale 90º, el inscrito vale 45º.
B’ es por tanto el punto afín de B pues permite convertir el romboide en cuadrado.
El sistema queda definido por su eje, dirección de afinidad BB’ y razón pues conocemos un afín de la figura dada.
Trazamos las rectas afines de NAB, MBC, LDA y NDC, NA’B’, MC’B’, LD’A’ y ND’C’ respectivamente y obtenemos el cuadrado A’B’C’D’. Figura 14
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