Dibujo técnico bachillerato : octubre 2020

lunes, 26 de octubre de 2020

PROBLEMAS DE APOLONIO

TANGENCIAS

PROBLEMAS DE APOLONIO

En este enlace se pueden estudiar la resolución de los problemas de Apolonio

https://ramonrequejo.wordpress.com/category/geometria-plana/apolonio-tangencias/

CASOS 1 Y 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

CASO 6.Problema por inversión

Problemas por inversión

Se dice que una recta o circunferencia son tangentes a otra circunferencia, cuando la recta o la circunferencia se cortan en un solo punto. Si la recta o la circunferencia se cortan en dos puntos, se dice que son secantes. Si no la corta en ningún punto será exterior.

Los problemas que se pueden presentar, los podemos agrupar de la forma siguiente:

a) Rectas tangentes a circunferencias

b) Circunferencias tangentes a rectas

c) Circunferencias tangentes a circunferencias.

d) Circunferencias tangentes a rectas y circunferencias.

En todos los casos debemos de tener en cuenta el número de datos precisos para obtener la solución.

Cuando la solución sea un circunferencia, necesitaremos tres datos. Cuando sea una recta, serán dos.

Una condición puede suplir a un dato. El número de soluciones puede oscilar entre cero y ocho.

Los procedimientos a utilizar en este primer curso, serán principalmente lugares geométricos, dilataciones y potencia.

1.2. Nomenclatura

La nomenclatura que se utilizará para numerar los distintos elementos que intervienen en los problemas de tangencias será la siguiente: Circunferencia O. Puntos de tangencia en la recta T. Punto de tangencia en la circunferencia t. Un punto cualquiera P. radio de la circunferencia r.

1.3. Lugares Geométricos.

Fig. 161

Dada la importancia que presentan los lugares geométricos en la resolución de los problemas de tangencias, se van a describir todos aquellos que utilizaremos a lo largo de los ejercicios que veremos seguidamente.

Número uno. La mediatriz del segmento AB, será el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que pasan por los puntos A y B. Fig. 161.

Fig. 162

Número dos: El lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias tangentes a una recta s en un punto P de ella, es otra recta t perpendicular a ella en ese punto. Fig. 162.

Número tres: El lugar geométrico de todos los centros de circunferencias O de igual radio r se encuentra en las rectas t y s, paralelas a la misma a la distancia r. Fig. 163.

Fig. 164

Número cuatro. El lugar geométrico de todos los centros de las Circunferencias que son tangentes a dos rectas que se cortan s y t se encuentra en la bisectriz de las mismas. Fig. 164.

Número cinco. El lugar geométrico de Todos los centros de las circunferencias de

radio r que pasan por un punto Q, se encuentra en una circunferencia de centro O y de igual radio r. Fig. 165.

Número seis. El lugar geométrico de todos los centros de circunferencia de radio r1 es otra circunferencia concéntrica con la primera cuyo radio es la suma de los radios. r + r1. Fig. 166.

Número siete: El lugar geométrico de todos los centros de circunferencias tangentes a otra circunferencias, en un punto de ella, se encuentra en la recta que une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia. Fig. 167.

Fig. 167

1.4. Circunferencias tangentes a una recta

a) Circunferencias tangentes a una recta, en un punto de ella y que pasen por un punto exterior. Fig. 168.

Lo resolveremos por lugares geométricos, aplicando el número uno y el número tres.

Sea la recta r y un punto cualquiera P, exterior a ella.

Fig. 168

Tendremos presente que el lugar geométrico de todos las circunferencias que pasan por P y Q estará en la mediatriz del segmento PQ.

El centro de la circunferencia tangente a una recta en un punto de ella, se encuentra en la perpendicular trazada a la misma por dicho punto.

El centro buscado será, por tanto donde se encuentren ambas rectas.

b) Circunferencias tangentes a una recta t en un punto de ella P conocido el radio de la solución r. Fig. 169.

Lo resolveremos por lugares geométricos.

Sea la recta t y un punto cualquiera en la recta P, el radio de la solución será r.

La circunferencia que pase por el punto P, estará en la perpendicular a la recta t.

Todas las circunferencias de radio r tangentes a la recta t, se encontrarán en una paralela a dicha distancia.

Donde se cortan las rectas paralelas t’- t” y la perpendicular tendremos los centros que se buscan O1 y O2.

1.5. Circunferencias tangentes a dos rectas

a) Circunferencias tangente a dos rectas conocido el punto de tangencia en un de ellas. Fig. 170.

Aplicaremos el lugar geométrico número 4 y 2.

Sean las rectas s, t y el punto de tangencia P.

El centro que buscamos estará en recta la bisectriz de los ángulos que forman las rectas s y t.

Trazaremos una perpendicular m a la recta s en el punto P.

Donde se encuentren ambas rectas, tendremos los centros O1 y O2.

Los puntos de tangencia T1 y T2, se hallan, trazando perpendiculares a y b por O1 y O2 a la recta t.

b) Circunferencias tangente a dos rectas conocido el radio de la solución. Fig. 171.

Haremos uso del lugar geométrico número tres, que dice: todos los centros de circunferencias de igual radio r se encuentra en las rectas s1 y t1, paralelas a la misma y a la distancia r.

Sean las rectas s, t y el radio de la solución r.

Trazamos dos rectas paralelas a s y t a la distancia r, rectas s1, s’1 y t1, t’1.

El punto donde se corten dichas rectas, nos determinarán los centros de las soluciones O1, O2, O3, O4.

Los puntos de tangencia se hallarán trazando rectas perpendiculares a s y t, por los centros anteriores.

Como puede observarse este ejercicio tiene cuatro soluciones.

1.6. Rectas tangentes a circunferencias

a) Rectas tangentes a una circunferencia en un punto de ella. Fig. 172.

Sea la circunferencia de centro O y un punto P en ella.

La tangente será perpendicular a la recta que une P con O.

Unimos el punto P con el centro de la circunferencia O, recta m.

Trazamos una perpendicular por P a m.

b) Rectas tangentes a una circunferencia paralela a una dirección dada. Fig. 173.

Sea la circunferencia de centro O y la dirección d.

Fig. 173

Haciendo centro en O, trazamos una circunferencia que corte a d en los puntos a y b.

Hallamos la mediatriz de ab, que corta a la circunferencia O en los punto m y n.

Las perpendiculares por m y n, nos dará las soluciones.

c) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( primer procedimiento). Fig. 174.

Trazamos la mediatriz de PO1.

Con centro en m trazamos la circunferencia que pase por P O1.

T1 y T2 serán los puntos de tangencia buscados.

El triángulo PT1O y PT2O, son rectángulos, ya que están inscritos en una circunferencia de centro O, y las rectas t1 y t2 son tangentes a la circunferencia de centro O, al ser perpendicular a la cuerda T1O.

c) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( segundo procedimiento). Fig. 175.

Fig. 175

Trazaremos una circunferencia de radio 2r,concéntrica con O.

Haciendo centro en P trazamos una circunferencia de radio PO.

Ambas se cortan en los punto a y b. Los unimos con O y quedan determinados los puntos de tangencia T1 y T2.

Fig. 176

d) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( tercer procedimiento). Fig. 176.

Con centro en O, se traza una circunferencia que pase por P.

Por c se traza una perpendicular a la recta PO. Esta determina los puntos a y b.

La unión de aO y bO, nos dan los puntos de tangencia

e) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: Fig. 177.

Este ejercicio se resuelve por dilataciones. Transformándolo en el anterior.

Se le resta a la circunferencia pequeña y a la grande el radio de la menor, convirtiendo esta en un punto.

Trazamos por el procedimiento anterior la tangente desde el punto O1, a la circunferencia r2 – r1. rectas m y n.

Unimos O2 con B y con C, que nos determinan los puntos de tangencia T1 y T2.

Por O1 trazamos dos paralelas a B T1 y C T2, resultando los puntos T’1 y T’2. La unión de T’1 y T1 determinan la tangente r y T’2 y T2 la tangente s.

f) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: ( procedimiento de homotecia). Fig. 178.

Elegimos un punto cualquiera en una de las circunferencias, por ejemplo el punto a.

Unimos a con O1 y trazamos por O2 un diámetro paralelo, que serán homotéticos.

Hallamos el centro de homotecia positiva O, prolongado la recta a-b, hasta que corte a la prolongación de O1–O2.

Trazamos por O una recta tangente a la circunferencia O1, que por la propiedad de la homología lo será también a O2.

g) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: ( procedimiento de potencia). Fig. 179.

El punto de tangencia se podía haber resuelto aplicando la potencia del punto O con respecto a una de las circunferencias OAA’ o OBB’

Como se ha visto en capítulos anteriores:

O A * O A’ = P T1 * P T’1 = P T12

Por ello la media proporcional entre los segmentos OA y OA’, nos dará la solución.

h) Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de centro O1 y O2. Fig. 180

El ejercicio se resolverá por dilataciones.

Con centro en O2 trazaremos una circunferencia concéntrica cuyo radio sea la suma de los radios (r + r1).

Trazaremos la mediatriz del segmento O1–O2 y seguidamente la circunferencia que pase por esos puntos.

Fig. 180

Unimos el centro O2 con los puntos a y b, que nos determinan los puntos de tangencia T3, T4.

Por O1, trazamos una paralela a la recta O2–T4. punto de tangencia T1.

Por O1 trazamos una recta paralela a O2–T3. punto de tangencia T2.

1.7. Circunferencias tangentes a circunferencias

a) Circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto P de ella, dado el radio de la solución r. Fig. 181.

Se unen los puntos O y P.

Sobre la recta O, P se traslada el radio r. O1 y O2 son los centros de las circunferencias solución.

Fig. 181

b) Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasen por un punto “P”, dado el radio de la solución. Fig. 182.

Sea la circunferencia de centro O y el punto P.

Lo resolveremos por lugares geométricos

El número 6 dice: El lugar geométrico de todos los centros de circunferencia de radio R es otra circunferencia concéntrica con la primera cuyo radio es la suma y recta de los radios. R + r.

De acuerdo con ello, con centro en O se dibujan las circunferencias de radio R + r y R – r.

Fig. 182

Aplicamos el número 5: El lugar geométrico de Todos los centros de las circunferencias de radio R que pasan por un punto P, se encuentra en una circunferencia de centro P y de igual radio R.

Con centro en P se dibuja la circunferencia de radio R.

Donde se corten todas las circunferencias todas las auxiliares tendremos los centros C1, C2, C3, C4, las soluciones.

Seguidamente tendremos que hallar los puntos de tangencia T1, T2, T3, T4.

Para ello uniremos C1 con O, obteniendo T1.

C3 con O, obteniendo T3. Y así sucesivamente.

c) Circunferencias tangentes a dos circunferencias C1 y C2, conocido el punto

de tangencia en una de ellas. Fig. 183.

Resolveremos el ejercicio por dilataciones y lugares geométricos reduciendo la circunferencia de centro C2 a un punto y la otra la dilatamos con el valor de su radio radio.

Sean las circunferencias de centros O1 y O2 y un punto T en la de centro O1.

Fig. 183

El centro que buscamos deberá estar situado en la recta que une el centro O1 con el punto de tangencia T. ( L.G. nº 7 )

Trazamos dos circunferencias concéntricas con O1, de radio de r + r1 y r1-r . ( L.G. nº 6 )

Unimos el punto de tangencia T con el centro O1 , recta m, esta nos determinan los puntos t1 y t2 . L.G. nº 7.

Ahora se trata de hacer pasar una circunferencia por los puntos t1 y t2, ( L.G. nº 1) para ello los unimos con O2, y seguidamente hallamos la mediatriz de t1-O2 y de t2 O2.

Donde la mediatrices cortan a la recta m tendremos los centros que buscamos C1 y C2.

El ejercicio finaliza Hallando el punto de tangencia T’ y T” y deshaciendo la dilatación.

d) Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el radio de la solución R. Fig. 184.

Este ejercicio podrá tener desde cero soluciones hasta un máximo de ocho.

Sean las circunferencias de radio r1 y r2, siendo R el de la solución.

Aplicaremos el sexto lugar geométrico. Haciendo centro en O1 y con radios (R + r1) y (R-r1), trazamos dos circunferencias.

Con centro en O2 y con radios ( R + r2) y ( R-r2 ), trazamos otras dos circunferencias.

Los puntos donde las circunferencias anteriores se cortan serán los centros de las soluciones. C1 a C6.

Los puntos de tangencia se hallaran uniendo C1 con O1 y O2.

1.8. Circunferencias tangentes a circunferencias y rectas.

a) Circunferencias tangentes a una circunferencias y a una recta conocido el punto de tangencia T en la recta. Fig. 185.

Podemos resolver el ejercicio por varios procedimientos. Aplicaremos el basado en las dilataciones.

Sea la circunferencia de centro O, la recta s, y un punto T en la misma.

A la circunferencia de centro O, le restamos su propio radio r, reduciéndose a un punto. Dicho radio lo sumamos a la recta s, obteniendo las rectas s’ y s”.

Trazamos una perpendicular por T. El punto de tangencia, ocupará las posiciones T1 y T2.

El ejercicio se ha transformado en “ circunferencia tangente a una recta en un punto de ella y que pasa por un punto exterior”. Ejercicio visto con anterioridad.

Las circunferencias con centro en C1 pasaran por O y T1 . La de centro C2 y T2. Deshacemos las dilatación y Tendremos la solución, hallando previamente los puntos de tangencia t1 y t2.

b) Circunferencias tangentes a una circunferencias y a una recta conocido el punto de tangencia. Fig. 186

Fig. 186

Sea la circunferencia de centro O, la recta t y el punto de tangencia en la circunferencia T.

Teniendo en cuenta el lugar geométrico que hemos numerado como siete, el centro que buscamos debe estar en la recta que une el punto de tangencia T con el centro O.

Todas las circunferencias que pasen por T, tendrán como radical la recta e.

Todas las circunferencias tangentes a la recta t, Tendrán como eje radical la propia recta t. Por tanto Cr, será el centro radical de todas las circunferencias que pasen por T y sean tangentes a la recta t.

Bastará con llevar la distancia de Cr T, sobre la recta t, para obtener los puntos de tangencia T1 y T1. Una perpendicular a t, nos determinará los centros C1 y C2.

Se podía haber resuelto el problema hallando la bisectriz de los ángulos α y β.

c) Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta s conocido el radio r de las soluciones. Fig. 187.

Resolveremos el problema por lugares geométricos.

Fig. 187

Aplicaremos el lugar geométrico nº 6. Trazamos dos circunferencias concéntricas

con la dada de valor suma y recta de R y r.

Aplicamos el lugar geométrico nº 3.Trazamos dos rectas paralelas a la recta sdada, a la distancia de r.

Los puntos de intersección de las circunferencias auxiliares de radio R+r y R-r y las rectas s1 y s2, serán los centros de las seis soluciones.

Finalmente hallaremos los puntos de tangencia, uniendo C1 con O, punto t1 y trazando por C1 una perpendicular a r, punto t2.

Haremos la misma operación con el resto de los centros.

D) Circunferencias tangentes a tres rectas. Fig. 188.

Fig. 188

Sean las rectas r, s, t, al cortarse forman un triángulo, y ello nos reducirá el problema a trazar las circunferencias inscritas a dicho triángulo.

Dibujamos las bisectrices de los ángulos de las rectas dadas y buscamos los puntos de Intersección C1, C2, C3, C4.

Los puntos de tangencias se hallaran trazado por los centros C1, C2, C3, C4. rectas perpendiculares a las dadas.

miércoles, 21 de octubre de 2020

RELACIONES GEOMÉTRICAS

PROPORCIONALIDAD

Proporcionalidad es la relación que existe entre 2 figuras de igual forma y distinto tamaño.

Razón (K)

Dados 2 segmentos a y b, la razón es la relación entre las longitudes de ambos segmentos. Dados 4 segmentos (a, b, c y d) tomados dos a dos, se dice que son proporcionales si las razones son iguales: a/b=c/d. (Fig.1). Se denominan medios: b y c. Son extremos: a y d

Proporcionalidad directa:

Dos magnitudes son directamente proporcionales si varían de tal forma que su razón permanece constante. a/b=a’/b’=a”/b”=… = K

Proporcionalidad inversa:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si varían de tal forma que su producto permanece constante. a·b=a’·b’=a”·b”=… = K

TEOREMA DE TALES Y APLICACIONES

Si un haz de rectas paralelas cortan a 2 rectas concurrentes (Fig.2), los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los determinados sobre la recta s. Son directamente proporcionales. AB/A’B’=BC/B’C’. También se cumple: AB/BC=A’B’/B’C’. Aplicaciones del Teorema de Tales:

División de un segmento en partes iguales

A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales (Fig.3).

División de un segmento en partes proporcionales

Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada (Fig.4).

CUARTA PROPORCIONAL DE UN SEGMENTO Y APLICACIONES

Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional a un segmento d si éste cumple: a/b=c/d. Se trata de buscar un segmento ‘d’ que mantenga esta proporcionalidad.

Trazamos 2 rectas r y s concurrentes en O. Trasladamos los segmentos a y b sobre r a partir de O y c sobre s a partir de O. Unimos el extremo de ‘a’ con el extremo de ‘c’ y trazamos una paralela a esta recta por el extremo de ‘b’ obteniendo el extremo del segmento ‘d’ buscado y cuarta proporcional, pues se cumple que c/d mantiene la proporción a/b según el Teorema de Tales visto (Fig. 5).

Producto de 2 segmentos: a·b=c

Si se toma un segmento como unidad (u) y dados los segmentos a y b, se observa que: u/a=b/x; a/u=x/b; a·b=x·u; a·b=x. Por tanto, el segmento x es la cuarta proporcional de u, a y b, y el producto de a y b (Fig. 6).

Cociente de dos segmentos: a/b=x

Si se toma un segmento como unidad (u) y dados los segmentos a y b, se observa que: b/a=u/x; a/b=x/u; a/b=x. Por tanto, el segmento x es la cuarta proporcional de u, a y b, y el cociente de a y b (Fig. 7).

TERCERA PROPORCIONAL DE 2 SEGMENTOS Y APLICACIONES

Dados 2 segmentos a y b, es c tercera proporcional si se cumple que: a/b=b/c. Trazamos 2 semirrectas r y s con origen común llevando a y b a una de ellas desde el punto de intersección y b a la otra. Trazamos una paralela por el extremo b de la primera semirrecta a la unión de los otros dos extremos (Fig. 8).

Cuadrado de un segmento: b2=x

(Fig. 9) Dado b, tomamos como ‘a’ en la construcción un segmento de una unidad ‘u’ y se obserba que: u/b=b/x; b/u=x/b; b·b=x·u; b·b=x; x=b2

MEDIA PROPORCIONAL Y APLICACIONES

Dados los segmentos a y b, se denomina media proporcional al segmento c, si cumple: a/c=c/b. También se observa que: a·b=c2; c=√a·b

Podemos obtener la media proporcional mediante 2 procedimientos:

1. Teorema de la altura

Situamos los 2 segmentos dados uno a continuación del otro. Se traza una semicircunferencia de centro en M, punto medio de la suma de a y b (Fig. 10). Por el punto de contacto de los segmentos trazamos una perpendicular a estos que corta a la circunferencia y obtenemos la media proporcional buscada c.

2. Teorema del cateto

Dados los segmentos AB y AC (Fig. 11), los superponemos, trazamos el arco capaz de AC y le trazamos una perpendicular por B hasta cortar a la semicircunferencia. Desde la intersección obtenida unimos con A y obtenemos el segmento ‘x’, la media proporcional buscada. Aplicaciones de la media proporcional

Raíz cuadrada de un segmento ‘a’

Tomamos un segmento de una unidad de longitud ‘u’ y lo ponemos a continuación del segmento dado ‘a’ y obtenemos x como hemos expuesto en el teorema de la altura. √a=x; a=x2; a=x·x: a/x=x/u

martes, 13 de octubre de 2020

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO

Son operaciones geométricas que nos permiten obtener una figura nueva a partir de otra dada, estableciéndose correspondencias entre las figuras y sus elementos (puntos, rectas…)

Denominaremos elementos dobles o invariantes aquellos que permanecen igual antes y después de la transformación.

CLASIFICACIÓN

CONFORMES.Transformaciones isométricas.

Se conservan tras la transformación las magnitudes y los ángulos de la figura original

Igualdad e identidad

Traslación

Simetría

Giro

NO CONFORMES.Transformaciones anamórficas

La figura obtenida es totalmente diferente a la de partida.

Inversión

Transformaciones proyectivas

Se caracterizan por introducir elementos del infinito (o impropios), como son el punto impropio o punto del infinito de una recta que no es sino la dirección de la recta y de todas sus paralelas; la recta impropia o recta del infinito, que determina la orientación de uno o varios planos si son paralelos; y el plano del infinito, que es el conjunto de todos los puntos impropios y rectas impropias.

Homología

Homología afín o Afinidad

TRASLACIÓN

Es un movimiento rectilíneo según una dirección establecida por el que cada punto de una figura se desplaza la misma distancia.

Partimos de la figura ABCD y del vector de traslación AA’, al que vamos trazando paralelas por los vértices dados. Trasladamos la distancia del vector director desde B, C y D hasta cortar a las paralelas correspondientes. (Fig. 21)

SIMETRÍA

Dos figuras son simétricas respecto un punto (central) o una recta (axial) cuando, haciendo girar la figura sobre esta recta o punto, la transformada coincide exactamente sobre la figura dada.

Simetría central

A y A’ son simétricos respecto al centro de simetría O cuando están alineados con O y están a la misma distancia. OA=OA’. (Fig. 22)

En toda simetría central se verifica que una figura y su transformada tienen los lados homólogos paralelos y de sentido contrario.

Para construir una figura simétrica de la dada ABCDE, conocido el centro, se traza una recta que pase por uno de sus vértices y por O, trasladando la distancia a O en sentido contrario para obtener el simétrico. Trazamos rectas por el resto de los vértices y trazamos paralelas a los lados del polígono a partir del primer punto obtenido hasta que corten a las rectas correspondientes.

Simetría Axial

Dos puntos son simétricos respecto un eje cuando están sobre una perpendicular a este y equidistan de él. Se verifica que el eje es la mediatriz de dos puntos homólogos y que los puntos que conforman el eje de simetría son puntos dobles.

Para construir una figura simétrica de otra dada conocido el eje, se trazan perpendiculares al eje por cada uno de los vértices y se trasladas las distancias correspondientes. (Fig. 23)

Simetría Radial

Es aquellla que se produce en una circunferencia los puntos situados en los extremos de los diámetros de una circunferencia son simétricos.

GIRO

Un giro es una transformación que posibilita que un punto, recta o figura plana se mueva alrededor de un punto fijo O (centro de giro), en un sentido (positivo o negativo) y un ángulo determinado.

En un giro, los ángulos y distancias se mantienen y los segmentos mantienen su magnitud pero cambian de orientación.

Giro de una figura conociendo el centro y el ángulo de giro

Giraremos la figura ABCD (fig. 24). Unimos cualquiera de sus puntos (A) con el centro de giro y, obtenido el segmento OA, le trazamos el ángulo dado en el sentido indicado y, sobre esta semirrecta medimos la distancia OA a partir de A y obtenemos A’. Procedemos de igual modo con el resto de los vértices.

GEOMETRÍA PROYECTIVA. HOMOLOGÍA Y AFINIDAD

Homografía

La homografía es una correspondencia biunívoca entre dos figuras que se relacionan mediante proyecciones y secciones según una ley determinada.

Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a todo punto y recta incidentes en una de las dos figuras le corresponden un punto y una recta también incidentes en la otra.

Dos figuras radiadas son homográficas cuando se corresponden recta a recta y plano a plano de tal forma que a toda recta y plano incidentes en una de las dos figuras le corresponden una recta y un plano también incidentes en la otra

Invariantes

La homografía respeta la incidencia (pasar por), y por tanto las intersecciones o tangencias. No respeta verdaderas magnitudes lineales o angulares ni la ordenación puntual.

HOMOLOGÍA

Definición

La homología es una transformación geométrica de una figura en otra coplanaria (Fig 1), de manera que se correspondan punto a punto y recta a recta respetando las siguientes leyes:

-Dos puntos homólogos (A y A’) están alineados con un punto fijo (O) llamado centro de homología.

-Dos rectas homólogas (AC, A’C’) se cortan en un mismo punto (N, punto doble) en una recta fija llamada eje de homología.

Elementos de una Homología

Elementos:

1.Centro de Homología [O]

Es el punto de convergencia de las rectas que contienen a un punto y a su homólogo.

2.Eje de Homología [eje]

Es la recta doble formada por puntos que son homólogos de ellos mismos.

3.Puntos Homólogos [A-A’]

Son los que corresponden a la pareja de puntos formada por el inicial (A) y su transformado (A’).

4.Rectas límite [RL-RL’]

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen sus homólogos en el infinito. Hay dos recta límite, una para los puntos del espacio inicial A, B, C… y otra para los puntos de su espacio homólogo A’, B’, C’… Em ambos ‘lugares’ hay una serie de puntos que tienen su homólogo en el infinito. En esa ‘serie’ los puntos están alineados formando las rectas límite. Una –RL– para el conjunto de puntos inicial A, B, C… y otra –RL’– para el conjunto de puntos homólogos o transformados A’, B’, C’…

En una homología establecida, cualquier punto situado sobre estas rectas tendrá, por tanto, su homólogo en el infinito.

Son las rectas que definen el lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito que corresponden a las figuras inicial y transformada.

Siendo una homología una relación entre dos figuras, existen dos rectas límite, una por cada figura.

La distancia de una recta límite respecto al centro de homología es igual a la distancia de la otra recta límite respecto al eje de homología.

Determinación de rectas límite

Determinación de la recta límite del espacio inicial A, B, C… RL

Por el centro de homología se traza una recta paralela a un lado homólogo A’C’ y se prolonga el lado original AC hasta que corte a la paralela anterior en un punto X. Se traza por X una recta paralela al eje de homología, obteniendo así la recta límite RL. Figura 2

Determinación de la recta límite del espacio homólogo o transformado A’, B’, C’… RL’

La recta límite de la figura transformada A’, B’, C’… se determina siguiendo el mismo método aplicado a su homóloga A, B, C….

Como las rectas límites son siempre paralelas al eje de homología, también serán paralelas entre sí, además se puede comprobar en la figura 2 que la distancia entre una recta límite y el centro de homología es igual a la distancia que existe entre la otra recta límite y el eje.

AFINIDAD

La Afinidad es un caso particular de la Homología, denominamos así una homología cuando su centro se encuentra en el infinito.

Las rectas dobles son ahora paralelas entre sí pues concurren en este centro de homología situado en el infinito. El centro de homología es sustituido ahora por una dirección, la dirección de afinidad.

El eje de homología pasa a denominarse eje de afinidad, los puntos homólogos, puntos afines y las rectas homólogas, rectas afines que se cortan sobre el eje de afinidad en los puntos dobles.

La afinidad queda determinada si conocemos el eje de afinidad, la dirección y un punto afín o razón de afinidad K (A’X/AX), relación de las distancias de dos puntos afines al origen de distancias (eje). Fig. 10

Elementos:

1.Rectas dobles: AA’, BB’.

2.Rectas afines: BA de A’B’

3.Puntos afines: A de A’.

4.Eje de afinidad: E.

5.Dirección de afinidad: AA’.

6.Razón de Afinidad: K = Ax / A’x.

Origen de distancias en el eje.

En el ejemplo trazamos la figura afín A’B’C’, de otra dada ABC, para una dirección AA’, un eje de afinidad y una razón (K = A’X/AX) predeterminadas.

Aplicaciones

Son numerosas las aplicaciones de la afinidad en geometría plana y proyectiva, como la verdadera magnitud mediante abatimiento de un polígono representado en SDO sobre un plano oblicuo, simplificando por afinidad.

Determinación de una afinidad

Para poder calcular una determinada figura afín de otra dada necesitamos saber, además de la figura, alguna de estas combinaciones:

El eje y un punto afín de la figura dada.

El eje, la dirección de afinidad y la razón de afinidad.

Dado el eje y dos puntos afines A, A’, calcular el afín de otro dado B

Unimos A con A’ y obtenemos la dirección de afinidad, por B pasamos una paralela a dicha dirección, sobre ella debe estar situado B’.

Unimos AB y obtenemos en su prolongación el punto M doble, en el eje. Desde M unimos con A’ obteniendo la recta afín de AB que en su intersección con la doble que pasa por B, determina B’. Figura 12

Obtener el punto afín de B, B’, en la afinidad determinada por AA’, si A, A’ y B están alineados.

Trabajamos con un punto auxiliar P exterior a la recta AA’, del que determinamos P’ de igual forma que en el ejercicio anterior. Calculamos el afín de B auxiliándonos de PP’. Figura 13

Obtención de una figura afín a otra dada

Definidas la dirección, eje y razón de afinidad, no representa ningún problema, pero a menudo tendremos que averiguar nosotros estos datos para conseguir una figura afín concreta de otra dada.

Cuadrado afín de un romboide dado ABCD

Para definir el sistema, aprovecharemos las propiedades angulares de los lados y diagonales del cuadrado. El ángulo ABC del romboide, debe transformarse en recto y el ángulo ABD en uno de 45º que es el ángulo que forma la diagonal del cuadrado con uno de sus lados.

Prolongamos los lados del romboide hasta cortar al eje de posición arbitraria en M y N, puntos dobles. Trazamos una circunferencia de diámetro MN y centro en el eje. El ángulo A’B’C’ debe tener su vértice B’ en esta circunferencia, arco capaz de 90º.

El ángulo ß ABD debe transformarse en uno de 45º, prolongamos la diagonal BD que corta en S al eje, con vértice en S trazamos un ángulo (NSX) que abarque un central 2x45º=90º, prolongando el lado XS obtenemos B’ sobre la circunferencia. NB’S por ser inscrito vale la mitad que el central NOX comprendido entre sus lados, como el central vale 90º, el inscrito vale 45º.

B’ es por tanto el punto afín de B pues permite convertir el romboide en cuadrado.

El sistema queda definido por su eje, dirección de afinidad BB’ y razón pues conocemos un afín de la figura dada.

Trazamos las rectas afines de NAB, MBC, LDA y NDC, NA’B’, MC’B’, LD’A’ y ND’C’ respectivamente y obtenemos el cuadrado A’B’C’D’. Figura 14