SISTEMA DIÉDRICO

 

        SISTEMA DIÉDRICO

INTRODUCCIÓN

Forma parte de los llamados Sistemas de Representación Gráfica (Sistemas Axonométrico, Acotado, Cónico, etc…) estudiados en Geometría Descriptiva, esta tiene por objeto la representación en el plano de elementos o superficies tridimensionales distribuidos en el espacio.

Surge de la necesidad de sistematizar la estereometría  (corte y mesura) de las piedras empleadas en las construcciones de la época y es en el siglo XVIII cuando Gaspar Monge, geómetra, físico y matemático francés (nacido en 1746 en Francia y considerado como el verdadero padre de la Geometría Descriptiva), sistematiza y hace gráficas las transformaciones y procesos estudiados hasta entonces por medios exclusivamente matemáticos, por lo que también se le denomina Sistema de Monge.

SIGNIFICADO

Se denomina Sistema por pertenecer a los Sistemas de Representación Gráfica (Diédrico, cónico, axonométrico…) .

Se denomina Diédrico, por utilizar, como sistema de referencia un ángulo Diédro o ángulo comprendido entre dos planos (di= dos, edro= plano), en este caso recto.

Se denomina Ortogonal por emplear proyecciones Cilíndricas Ortogonales para la representación de los diversos elementos distribuidos en el espacio.

ELEMENTOS DEL SISTEMA DIÉDRICO ORTOGONAL 

Los planos de proyección (diedro ortogonal) y referencia se denominan en SDO, PLANO VERTICAL (PV) y PLANO HORIZONTAL (PH), en ellos se proyectan ortogonalmente las proyecciones verticales y horizontales respectivamente, de los elementos a representar.

La recta intersección de ambos planos se denomina LÍNEA DE TIERRA (LT).

Los espacios o regiones comprendidos entre los planos horizontal y vertical, se denominan DIEDROS, son cuatro en total, designándose como se indica en la ilustración. Además de estos elementos, principales, se utilizan con frecuencia otros como son:

PLANO DE PERFIL (PP), que es un plano perpendicular al vertical y horizontal, se utiliza cuando con las proyecciones horizontal y vertical no obtenemos suficientes datos del elemento representado y necesitamos por tanto otra proyección más, la de perfil en este plano.

PLANOS BISECTORES, son planos que dividen en dos ángulos iguales a los Diedros, son dos los bisectores. El espacio formado entre estos y los planos de proyección horizontal y vertical se denomina OCTANTE, son ocho los octantes, de ahí su nombre, se designan del 1º al 8º tal y como se indica en la ilustración de la figura 6.

SISTEMA DIÉDRICO. PUNTO: REPRESENTACIÓN, COORDENADAS Y ALFABETO DEL PUNTO.

Representación de un punto.

Un punto “A” se representa en este sistema mediante sus proyecciones ortogonales sobre el plano vertical y el horizontal. Estas proyecciones se denominan vertical y horizontal y se designan, con minúscula prima o mayúscula y subíndice 2 (a’ · A2) y minúscula o mayúscula y subíndice 1 (a · A1) respectivamente. Fig.7

Cuando trabajamos en Sistema Diédrico, hacemos coincidir el Plano Vertical de proyección del sistema de referencia con el papel del dibujo, representamos la línea de tierra quedando, de este modo, encima o debajo de ella las proyecciones efectuadas en este plano.

Lo proyectado sobre el Plano Horizontal queda sin embargo escorzado en la propia Línea de Tierra por lo que no es representativo. Para evitar esta situación abatimos dicho plano 90º en el sentido de las agujas del reloj, empleando como charnela o “bisagra” la propia Línea de Tierra, hasta hacerlo coincidir con el vertical de proyección. De este modo tenemos sobre el papel también las proyecciones horizontales de los elementos y ambos planos, Horizontal y Vertical, superpuestos sobre el papel del dibujo. Fig.8

El punto queda así representado por sus proyecciones horizontal y vertical entorno a la Línea de Tierra, sobre una perpendicular a esta trazada (en línea de puntos) y a unas distancias determinadas: la distancia de la proyección vertical a LT denominada COTA y la distancia de la proyección horizontal a LT denominada ALEJAMIENTO. Fig.9

La Cota es positiva cuando la proyección vertical del punto está por encima de LT, negativa si está por debajo y nula si está en ella.

El Alejamiento se considera positivo si la proyección horizontal está debajo de LT, negativo si está por encima y nulo cuando coincide con LT.

Coordenadas de un punto.

Un punto A, puede venir dado por sus COORDENADAS A (x, y, z), en donde “x” es la distancia sobre la línea de tierra desde la intersección de la perpendicular que contiene las proyecciones del punto con la propia línea de tierra hasta donde situemos el origen de coordenadas, “y” es el alejamiento y “z” la cota.

EJEMPLO: Para un origen de coordenadas situado en el extremo izquierdo de la línea de tierra, representamos el punto A (3, 2, 1).

El eje X es positivo del origen de coordenadas hacia la derecha y negativo en caso contrario. Fig.10

Alfabeto del punto.

Según la ubicación de un punto respecto del sistema de referencia establecido, así serán su cota y alejamiento y por tanto su representación en S.D.O. Un punto puede estar situado:

 -En uno de los cuatro Diedros, (si está en el primero tendrá cota y alejamiento positivos, negativos ambos en el 3º, positiva la cota y negativo el alejamiento en el 2º y viceversa en el 4º.)

 -Contenido en los Planos de Proyección, en cuyo caso tendrá nula la cota si está en el PH o el alejamiento si está en PV.

 -Contenido en un plano bisector (tendrán igual magnitud su cota y su alejamiento, positivos ambos en el 1º diedro, negativos ambos en el 3º diedro y uno positivo y otro negativo en los diedros 2º y 4º).

 -En la Línea de Tierra. En este caso son nulos los valores para la cota y el alejamiento.

RECTA. REPRESENTACIÓN, TRAZAS Y TIPOS DE RECTAS.

Representación de la recta en SDO

Sabemos que una recta es una sucesión de puntos y que dos puntos determinan una recta. En SDO una recta se representa mediante sus proyecciones sobre el Plano Vertical y el Plano Horizontal, denominadas Proyección Vertical y Proyección Horizontal de la recta respectivamente y designadas por minúscula prima y minúscula respectivamente (r’, r). Según algunos autores por minúscula con subíndices 2 y 1 respectivamente (r2, r1).

Para poder representar dichas proyecciones, bastará con representar las proyecciones de dos de los puntos de la recta y unir las proyecciones homólogas. Por ejemplo, para representar la recta R, representamos primero las proyecciones verticales y horizontales de A y B, puntos contenidos en ella. Uniendo -a’- con -b’- tendremos la proyección vertical de R, r’. Uniendo -a- con -b-, la proyección horizontal de “R”, r. Fig.12.

Pertenencia de un punto a una recta.

Un punto pertenece a una recta cuando las proyecciones vertical y horizontal del punto pertenecen a las proyecciones vertical y horizontal de la recta respectivamente.

Ejemplo.:

El punto C pertenece a R pues c’ y c pertenecen a r’ y r respectivamente. Los puntos D,E y F no pertenecen a R pues alguna de sus proyecciones o ambas no pertenecen a R. Fig.13.

El punto G no pertenece a R pues las proyecciones que coinciden con r’ y r no son las homólogas sino las contrarias, g está sobre r’ y g’ está sobre r, están invertidas y por tanto la pertenencia es solo aparente. Fig.14

Trazas de la recta

Se denominan Trazas de la recta a los puntos de intersección de esta con los planos de proyección horizontal, vertical y, en su caso, de perfil. Como cualquier otro punto, las trazas de la recta se representan por sus proyecciones horizontales y verticales.

Se denomina Traza Horizontal de una recta a la intersección de la recta con el plano horizontal de proyección, se designa con hache mayúscula, H y como cualquier otro punto, tiene proyección vertical (h’) y proyección horizontal (h), esta última coincidente con la verdadera traza. Fig.15.

Se denomina Traza Vertical de una recta a la intersección de la recta con el plano vertical de proyección, se designa con uve mayúscula, V y como cualquier otro punto tiene proyección vertical (v’) coincidente con la verdadera traza y proyección horizontal (v). Fig.15.

Tipos de rectas

Paralelas a alguno de los planos de proyección o a ambos:

Recta horizontal. La que es paralela al plano de proyección horizontal. Su proyección vertical es paralela a LT. Fig.17

Recta frontal. La que es paralela al plano de proyección vertical. Su proyección horizontal es paralela a LT. Fig.18

Recta paralela a la línea de tierra. Sus proyecciones son paralelas a LT. Fig. 19

Perpendiculares a alguno de los planos de proyección:

Recta vertical. Perpendicular al plano horizontal de proyección. Su proyección vertical es perpendicular a LT. y su proyección horizontal queda representada por un punto. Fig.20

Recta de punta. Perpendicular al plano vertical de proyección. Su proyección horizontal es perpendicular a LT. y su proyección vertical queda representada por un punto. Fig.21

Recta de perfil. Presenta sus proyecciones normales a LT por pertenecer a un plano de perfil. Ver plano de perfil en este mismo tema. Fig 22.

Recta contenida en un bisector. Sus proyecciones forman un mismo ángulo con LT. En la figura 23 se representa una contenida en el primer bisector, primer diédro.

EL PLANO. REPRESENTACIÓN Y DESIGNACIÓN DE UN PLANO EN S.D.O. TRAZAS.

El plano se representa en S.D.O. por sus TRAZAS. Se denominan Trazas del plano a las rectas intersección de este con los planos vertical y horizontal de proyección.

La Traza Horizontal del plano es la recta intersección de este con el Plano Horizontal de proyección y la Traza Vertical es la intersección del plano con la el Plano Vertical de proyección. Si el plano es oblicuo, proyectante o de perfil, dichas trazas coinciden en un punto sobre la Línea de Tierra.

El plano en el espacio se designa con letra mayúscula, Q, con mayúscula prima la Traza Vertical, Q’ y mayúscula la Traza Horizontal, Q. Según algunos autores la designación correcta debe ser a1, a2 o cualquier otra letra griega acompañada de los subíndices 1 y 2 para las trazas horizontal y vertical respectivamente. Fig.25

DETERMINACIÓN DE UN PLANO.

Un plano puede venir dado directamente en sistema diédrico si nos aclaran la situación exacta de sus trazas. Frecuentemente tendremos que hallar las trazas de un plano que venga determinado de otro modo. Un plano puede venir determinado (cuatro casos).:

1. Determinación de un plano por dos rectas que se cortan, R y S.

Por una recta pueden pasar infinitos planos pero por dos rectas que se cortan solo pasa un plano. Fig. 28

Dadas las rectas R y S que se cortan en un punto A si queremos trazar un plano Q que contenga a R, debemos hacer pasar las trazas de este por las de la recta, son infinitos los planos que se pueden trazar que contengan a la recta.

Si queremos que, además de contener a R, el plano trazado Q contenga a S, haremos pasar las trazas de Q no solo por las de R sino también por las de S, de esta forma obtenemos el único plano determinado por R y S que se cortan. Fig. 29A y B.

2. Determinación de un plano por un punto y una recta, B y T.

Si trazamos desde el punto B una recta L que se corte con la dada T en un punto cualquiera P, estamos en la misma situación del ejercicio anterior, tenemos dos rectas L y T que se cortan, calculamos sus trazas y hacemos pasar por las homologas las trazas del plano buscado N. Fig.30.

3. Determinación de un plano por tres puntos no alineados, C, D y E.

Uniendo los puntos dos a dos (el C con el D y el E con el D, por ejemplo), mediante las rectas X y W, nos situamos de nuevo en el primer caso, siendo D en este caso el punto donde se cortan. Fig.31.

4. Determinación de un plano por dos rectas paralelas entre sí, M y Ñ.

Por dos rectas paralelas pasa un solo plano.

En SDO, dos rectas paralelas mantienen sus proyecciones homólogas también paralelas. Uniendo las trazas homólogas de estas tendremos definido el plano que determinan o en el que están contenidas, O. Fig.32.

TIPOS DE PLANOS.

En base a la posición de los planos dibujados respecto del sistema de referencia, se pueden tipificar los siguientes grupos y subgrupos:

1. Planos oblicuos a los planos de proyección

Los que no son paralelos ni perpendiculares a los planos de referencia del sistema. Presentan sus trazas oblicuas respecto de la línea de tierra. Fig.33.

2. Planos perpendiculares a los planos de proyección

Son perpendiculares a alguno de los planos de proyección o a ambos, se utilizan frecuentemente como planos auxiliares. Hay tres tipos:

Plano proyectante horizontal.

Es perpendicular al plano horizontal de proyección. Su traza vertical es perpendicular a la línea de tierra. Se denomina Proyectante Horizontal pues las proyecciones horizontales de todos los elementos contenidos en él coinciden en la traza horizontal de dicho plano. Fig.34

Plano proyectante vertical.

Es perpendicular al plano vertical de proyección. Su traza horizontal es perpendicular a la línea de tierra. Se denomina Proyectante Vertical pues las proyecciones verticales de todos los elementos contenidos en él coinciden en la traza vertical de dicho plano. Fig.35

Plano de perfil.

Son perpendiculares al plano vertical y horizontal de proyección. Sus trazas se presentan normales a la línea de tierra. Las proyecciones de los elementos en ellos contenidos, coinciden con sus trazas por lo que, y con objeto de obtener una proyección más representativa de sus elementos, abatimos este plano sobre el vertical de proyección presentándose de este modo en verdadera magnitud y forma. En la figura 40, abatimos un plano de perfil y apreciamos de este modo la ubicación de los puntos A y B en él contenidos. Fig.36

3. Planos paralelos a los planos de proyección.

Son paralelos a alguno de los planos de proyección, hay dos tipos:

Plano Horizontal.

Paralelo al horizontal de proyección. Su traza vertical es paralela a la línea de tierra y contiene las proyecciones verticales de los elementos contenidos en él. Por ser paralelo al plano horizontal no tiene traza horizontal. Fig. 37.

Plano Frontal.

Paralelo al vertical de proyección. Su traza horizontal es paralela a la línea de tierra y contiene las proyecciones horizontales de los elementos contenidos en él. Por ser paralelo al plano vertical no tiene traza vertical. Fig. 38.

4. Paralelos a la línea de tierra.

Presentan sus trazas vertical y horizontal paralelas a la línea de tierra. En la figura se traza un punto A perteneciente al plano, auxiliándonos de una recta R del plano. Fig. 39.

5. Planos que pasan por LT

Su intersección con los planos de referencia es la propia línea de tierra por lo que sus trazas no son representativas. Para representarlos se trazan las proyecciones de uno de sus puntos y se dibujan dos trazos por debajo de la línea de tierra, entorno a la recta de perfil que pasa por dicho punto. En la figura, se ha abatido la recta de perfil antedicha obteniéndose de este modo una idea clara de la ubicación relativa del plano. Obsérvese que esta recta es normal y corta a LT. Fig. 40.

6. Planos perpendiculares a los planos bisectores.

Plano perpendicular al primer bisector.

Calculamos la traza de perfil del plano bisector (coincidente con r”) y le trazamos una perpendicular en cualquiera de sus puntos (a”), quedando así determinada la traza de perfil Q” del plano buscado. Deshacemos el abatimiento del plano de perfil P y obtenemos Q y Q’. R es la recta intersección del bisector y el plano Q trazado, contiene al punto A equidistante a los planos de proyección y a X punto perteneciente a LT.

Son infinitos los planos normales al primer bisector, la única condición es que muestren sus trazas sobre un tercer plano de perfil, normales entre sí, las trazas vertical y horizontal del plano trazado, forman en cualquier caso idénticos ángulos con la línea de tierra. El trazado Q pasa además por X y A. Fig. 41. Un caso particular de plano normal a los bisectores es el plano de perfil, perpendicular a ambos bisectores y a los propios de proyección. 

Plano perpendicular al segundo bisector.

Los ángulos que forman sus trazas con LT son idénticos pero en sentido contrario.

RECTAS PARTICULARES DEL PLANO.

Rectas horizontales del plano.

Son rectas horizontales y pertenecientes al plano. Fig 42

Son rectas frontales y pertenecientes al plano. Fig 43

Rectas de máxima pendiente e inclinación del plano.

Definen la dirección de máxima pendiente o inclinación de un plano, según se mida con el plano horizontal o vertical de proyección respectivamente.

Recta de máxima pendiente.

Es la dirección R por donde discurriría una gota de agua en un plano cualquiera Q, si hiciéramos coincidir el plano horizontal de proyección con el suelo. Será por tanto la recta del plano que forme mayor ángulo con el plano horizontal de proyección. En S.D.O. muestra esta recta R su proyección horizontal, r, perpendicular a la traza horizontal del plano. Naturalmente, esta recta está contenida en el plano Q, y por tanto sus trazas coincidentes con las homólogas de dicho plano. Fig.44

Es la dirección T por donde discurriría una gota de agua en un plano cualquiera P, si hiciéramos coincidir el plano vertical de proyección con el suelo. En S.D.O. muestra esta recta T su proyección vertical, t’, perpendicular a la traza vertical del plano. Naturalmente, esta recta está contenida en el plano P y por tanto sus trazas coincidentes con las homólogas de dicho plano. Fig. 45.

Rectas de perfil de un plano.

Las trazas de una recta de perfil R contenida en un plano Q coinciden con las trazas del plano, para conocer la ubicación de la recta con relación a los planos de referencia, abatimos en el plano vertical su proyección sobre un plano de perfil auxiliar P. Fig 46.

RESUMEN

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

  GEOMETRÍA DESCRIPTIVA 

La geometría descriptiva tiene por objeto la representación de las figuras del espacio real en un plano bidimensional, valiéndose para ello de la geometría proyectiva con el uso de medidas y técnicas que posibiliten la reversibilidad del proceso. La geometría descriptiva es la base de los distintos sistemas de representación. Se basa en el concepto de proyección.

CONCEPTO DE PROYECCIÓN

                

2. Sistemas de representación

Un sistema de representación es un modo ordenado de dar a conocer las formas geométricas (bidimensionales o tridimensionales) en un plano bidimensional.

Los distintos sistemas de representación se basan en las distintas maneras de proyectar :

Proyección cónica o central: sistema cónico.

Proyección cilíndrica (ortogonal u oblicua): sistema de planos acotados, sistema diédrico y sistema axonométrico.

Dependiendo de la proyección creada los sistemas de representación se clasifican en dos grupos :

Sistemas de medida: cuando el objeto proyectado reproduce una imagen del mismo con sus dimensiones en verdadera magnitud o a distintas escalas (sistema de planos acotados y diédrico).

Sistemas perspectivos: cuando la proyección no muestra las dimensiones del objeto en verdadera magnitud (sistemas axonométrico y cónico).

CURVAS CÓNICAS

 CURVAS CÓNICAS

Se denominan secciones cónicas a aquellas superficies que son producidas por la intersección de un  plano con una superficie cónica de revolución. Según la posición del plano secante respecto al eje del cono, en relación con el ángulo en el vértice, se obtienen fundamentalmente tres curvas: elipse, parábola e hipérbola, que son denominadas, por este motivo, curvas cónicas.

Se produce elipse, parábola o hipérbola, respectivamente, según que el ángulo formado entre el plano secante y el eje del cono sea mayor, igual o menor que el semiángulo en el vértice. Casos particulares límites constituyen las posiciones del plano secante cuando contiene al vértice del cono, produciendo en la intersección dos generatrices rectas, o bien cuando el plano secante es perpendicular al eje, en el que se obtiene una sección circular.

Teorema de Dandelín.

En geometría descriptiva se demuestra que el foco, o los focos, de una curva cónica se encuentran en los puntos de tangencia del plano secante con las esferas inscritas en la superficie cónica que lo sean, a su vez, tangentes al plano que produce la sección. Los focos son puntos notables de las cónicas.

La elipse y la hipérbola tienen dos directrices y dos focos; la parábola tiene un solo foco y por tanto una sola directriz, puesto que el plano secante es paralelo a una de las generatrices de la superficie cónica y corta solamente a una rama del cono.

Las directrices de un círculo son rectas del infinito puesto que los planos de contacto y el secante son paralelos, al ser necesariamente perpendiculares al eje de la superficie cónica.

TRAZADO DE TANGENTES A LAS CURVAS CÓNICAS

CURVAS TÉCNICAS

CURVAS TÉCNICAS

La línea curva se define como aquella que tres de sus puntos consecutivos, infinitamente próximos, no siguen la misma dirección.

Se define también como el lugar geométrico de las posiciones de un punto móvil en continuo cambio de dirección.

Esta línea es geométrica cuando la trayectoria de sus puntos es continua y establecida por una determinada ley.

Las curvas planas son probablemente las figuras más comunes en la naturaleza y la técnica, por lo que su estudio resulta fundamental para la descripción del entorno.

Gracias al dibujo, se pueden establecer los trazados y las propiedades geométricas de numerosas curvas sin necesidad de aplicar el cálculo infinitesimal.

Las curvas se representan como funciones matemáticas de dos o tres variables que se pueden identificar con los puntos de un plano (coordenadas x  y ) o del espacio tridimensional ( x, y z).

Existen infinidad de curvas planas, algunas de ellas tan caprichosas que no se pueden describir como funciones matemáticas. De entre todas se pueden destacar dos tipos de especial interés: las curvas cónicas y las curvas técnicas.

CURVAS TÉCNICAS

ÓVALO

OVOIDE

 ESPIRALES 

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES

VOLUTA

CURVAS CÍCLICAS

PROBLEMAS DE APOLONIO

 

TANGENCIAS 

PROBLEMAS DE APOLONIO

En este enlace se pueden estudiar la resolución de los problemas de Apolonio

https://ramonrequejo.wordpress.com/category/geometria-plana/apolonio-tangencias/

CASOS 1 Y 2

CASO 3

CASO 4

CASO 5

CASO 6.Problema por inversión

    

Problemas por inversión

TANGENCIAS

 TANGENCIAS

1.1. Generalidades

Se dice que una recta o circunferencia son tangentes a otra circunferencia, cuando la recta o la circunferencia se cortan en un solo punto. Si la recta o la circunferencia se cortan en dos puntos, se dice que son secantes. Si no la corta en ningún punto será exterior.

Los problemas que se pueden presentar, los podemos agrupar de la forma siguiente:

a)     Rectas tangentes a circunferencias

b)     Circunferencias tangentes a rectas

c)      Circunferencias tangentes a circunferencias.

d)     Circunferencias tangentes a rectas y circunferencias.

En todos los casos debemos de tener en cuenta el número de datos precisos para obtener la solución.

Cuando la solución sea un circunferencia, necesitaremos tres datos. Cuando sea una recta, serán dos.

Una condición puede suplir a un dato. El número de soluciones puede oscilar entre cero y ocho.

Los procedimientos a utilizar en este primer curso, serán principalmente lugares geométricos, dilataciones y potencia.

1.2. Nomenclatura

La nomenclatura que se utilizará para numerar los distintos elementos que intervienen en los problemas de tangencias será la siguiente: Circunferencia O. Puntos de tangencia en la recta T. Punto de tangencia en la circunferencia t. Un punto cualquiera P. radio de la circunferencia r.

1.3. Lugares Geométricos.

Fig. 161

Dada la importancia que presentan los lugares geométricos en la resolución de los problemas de tangencias, se van a describir todos aquellos que utilizaremos a lo largo de los ejercicios que veremos seguidamente.

Número uno. La mediatriz del segmento AB, será el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que pasan por los puntos A y B. Fig. 161.

Fig. 162

Número dos: El lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias  tangentes a una recta s en un punto P de ella, es otra recta  t perpendicular a ella en ese punto. Fig. 162.

Número tres: El lugar geométrico de todos los centros de circunferencias O de igual radio  r se encuentra en las rectas t y s, paralelas a la misma a la distancia r. Fig. 163.

Fig. 164

Número cuatro. El lugar geométrico de todos   los centros de las Circunferencias que son  tangentes a dos rectas que se cortan s y t se encuentra en la bisectriz de las mismas. Fig. 164.

Número cinco. El lugar geométrico de Todos los centros de las  circunferencias de

radio r que pasan por un punto Q, se  encuentra en una circunferencia de centro  O y de igual radio r.  Fig. 165.

Número seis. El lugar geométrico de todos los centros de circunferencia de radio r1 es otra circunferencia  concéntrica con la primera cuyo  radio es la suma de los radios. r + r1. Fig. 166.

Número siete: El lugar geométrico de todos los centros de  circunferencias tangentes a otra circunferencias, en un punto de ella, se encuentra en la recta que une el punto de tangencia con el centro de la circunferencia. Fig. 167.

Fig. 167

1.4. Circunferencias tangentes a una recta

a) Circunferencias tangentes a una recta, en un punto de ella y que pasen por un punto exterior. Fig. 168.

Lo resolveremos por lugares geométricos, aplicando el número uno y el número tres.

Sea la recta r y un punto cualquiera P, exterior a ella.

Fig. 168

Tendremos presente que el lugar geométrico de todos las circunferencias que pasan por P y Q estará en la mediatriz del segmento PQ.

El centro de la circunferencia tangente a una recta en un punto de ella,  se encuentra en la perpendicular  trazada a la misma por dicho punto.

El centro buscado será, por tanto donde se encuentren ambas rectas.

b) Circunferencias tangentes a una recta t en un punto de ella   P conocido el radio de la solución r. Fig. 169.

Lo resolveremos por lugares geométricos.

Sea la recta t y un punto cualquiera en la recta P, el radio de la solución será r.

La circunferencia que pase por el punto P, estará en la perpendicular a la recta t.

Todas las circunferencias de radio r tangentes a la recta t, se encontrarán en una paralela a dicha distancia.

Donde se cortan las rectas paralelas t’- t” y la perpendicular tendremos los centros que se buscan O1 y O2.

1.5. Circunferencias tangentes a dos rectas

a) Circunferencias tangente a dos rectas conocido el punto de tangencia en un de ellas. Fig. 170.

Aplicaremos el lugar geométrico número 4 y 2.

Sean las rectas s, t y el punto de tangencia P.

El centro que buscamos estará en recta la bisectriz de los ángulos que forman las rectas s y t.

Trazaremos una perpendicular m a la recta s en el punto P.

Donde se encuentren ambas rectas, tendremos los centros O1 y O2.

Los puntos de tangencia T1 y T2, se hallan, trazando perpendiculares a y b por O1 y O2 a la recta t.

b) Circunferencias tangente a dos rectas conocido el radio de la solución. Fig. 171.

Haremos uso del lugar geométrico número tres, que dice: todos los centros de circunferencias de igual radio  r se encuentra en las rectas  s1 y t1, paralelas a la misma y a la distancia r.

Sean las rectas s, t y el radio de la solución r.

Trazamos dos rectas paralelas a s y t a la distancia r, rectas s1, s’1 y t1, t’1.

El punto donde se corten dichas rectas, nos determinarán los centros de las soluciones O1, O2, O3, O4.

Los puntos de tangencia se hallarán trazando rectas perpendiculares a s y t, por los centros anteriores.

Como puede observarse este ejercicio tiene cuatro soluciones.

1.6. Rectas tangentes a circunferencias

a) Rectas tangentes a una circunferencia en un punto de ella. Fig. 172.

Sea la circunferencia de centro O y un punto P en ella.

La tangente será perpendicular a la recta que une P con O.

Unimos el punto P con el centro de la circunferencia O, recta m.

Trazamos una perpendicular por P a m.

b) Rectas tangentes a una circunferencia paralela a una dirección dada. Fig. 173.

Sea la circunferencia de centro O y la dirección d.

Fig. 173

Haciendo centro en O, trazamos una circunferencia que corte a d en los puntos a y b.

Hallamos la mediatriz de ab, que corta a la circunferencia O en los punto m y n.

Las perpendiculares por m y n, nos dará las soluciones.

c) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( primer procedimiento). Fig. 174.

Trazamos la mediatriz de PO1.

Con centro en m trazamos la circunferencia que pase por P O1.

T1 y T2 serán los puntos de tangencia buscados.

El triángulo PT1O y PT2O, son rectángulos, ya que están inscritos en una circunferencia de centro O, y las rectas t1 y t2 son tangentes a la circunferencia de centro O, al ser perpendicular a la cuerda T1O.

c) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( segundo procedimiento). Fig. 175.

Fig. 175

Trazaremos una circunferencia de radio 2r,concéntrica con O.

Haciendo centro en P trazamos una circunferencia de radio PO.

Ambas se cortan en los punto a y b. Los unimos con O y quedan determinados los puntos de tangencia T1 y T2.

Fig. 176

d) Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P.( tercer procedimiento). Fig. 176.

Con centro en O, se traza una circunferencia que pase por P.

Por c se traza una perpendicular a la recta PO. Esta determina los puntos a y b.

La unión de aO y bO, nos dan los puntos de tangencia

e) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: Fig. 177.

Este ejercicio se resuelve por dilataciones. Transformándolo en el anterior.

Se le resta a la circunferencia pequeña y  a la grande  el radio de  la menor, convirtiendo esta en un punto.

Trazamos por el procedimiento anterior la tangente desde el punto O1, a la circunferencia r2 – r1. rectas m y n.

Unimos O2 con B y con C, que nos determinan los puntos de tangencia T1 y T2.

Por O1 trazamos dos paralelas a B T1 y C T2, resultando los puntos T’1 y T’2. La unión de T’1 y T1 determinan la tangente r y T’2 y T2 la tangente s.

f) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: ( procedimiento de homotecia). Fig. 178.

Elegimos un punto cualquiera en una de las circunferencias, por ejemplo el punto a.

Unimos a con O1 y trazamos por O2 un diámetro paralelo, que serán homotéticos.

Hallamos el centro de homotecia positiva O, prolongado la recta a-b, hasta que corte a la prolongación de O1–O2.

Trazamos por O una recta tangente a la circunferencia O1, que por la propiedad de la homología lo será también a O2.

g) Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias: ( procedimiento de potencia). Fig. 179.

El punto de tangencia se podía haber resuelto aplicando la  potencia del punto O con respecto a una de las circunferencias OAA’ o OBB’

Como se ha visto en capítulos anteriores:

O A * O A’ = P T1 * P T’1 = P T12

Por ello la media proporcional entre los segmentos OA y OA’, nos dará la solución.

h) Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de centro O1 y O2. Fig. 180

El ejercicio se resolverá por dilataciones.

Con centro en O2 trazaremos una circunferencia concéntrica cuyo radio sea la suma de los radios (r + r1).

Trazaremos la mediatriz del segmento O1–O2 y  seguidamente la circunferencia que pase por esos puntos.

Fig. 180

Unimos el centro O2 con los puntos a y b, que nos determinan los puntos de tangencia T3, T4.

Por O1, trazamos una paralela a la recta O2–T4. punto de tangencia T1.

Por O1 trazamos una recta paralela a O2–T3. punto de tangencia T2.

1.7. Circunferencias tangentes a circunferencias

a) Circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto P de ella, dado el radio de la solución r. Fig. 181.

Se unen los puntos O y P.

Sobre la recta O, P se traslada el radio r. O1 y O2 son los centros de las circunferencias solución.

Fig. 181

b) Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasen por un punto “P”, dado el radio de la solución. Fig. 182.

Sea la circunferencia de centro O y el punto P.

Lo resolveremos por lugares geométricos

El número 6 dice: El lugar geométrico de todos los centros de circunferencia de radio R es otra circunferencia  concéntrica con la primera cuyo  radio es la suma y recta de los radios. R + r.

De acuerdo con ello, con centro en O se dibujan las circunferencias de radio R + r y R – r.

Fig. 182

Aplicamos el número 5: El lugar geométrico de Todos los centros de las circunferencias de radio R que pasan por un punto P, se  encuentra en una circunferencia de centro P y de igual radio R.

Con centro en P se dibuja la circunferencia de radio R.

Donde se corten todas las circunferencias todas las auxiliares tendremos los centros C1, C2, C3, C4, las soluciones.

Seguidamente tendremos que hallar los puntos de tangencia T1, T2, T3, T4.

Para ello uniremos C1 con O, obteniendo T1.

C3 con O, obteniendo T3. Y así sucesivamente.

c) Circunferencias tangentes a dos circunferencias C1 y C2, conocido el punto

de tangencia en una de ellas. Fig. 183.

Resolveremos el ejercicio por dilataciones y lugares geométricos reduciendo la circunferencia de centro C2 a un punto y la otra la dilatamos con el valor de su radio radio.

Sean las circunferencias de centros O1 y O2 y un punto T en la de centro O1.

Fig. 183

El centro que buscamos deberá estar situado en la recta que une el centro O1 con el punto de tangencia T. ( L.G. nº 7 )

Trazamos dos circunferencias concéntricas con O1, de radio de r + r1 y  r1-r . ( L.G. nº 6 )

Unimos el punto de tangencia T con el centro O1 , recta m, esta nos determinan los puntos t1 y t2 . L.G. nº 7.

Ahora se trata de hacer pasar una circunferencia por los puntos t1 y t2,  ( L.G. nº 1) para ello los unimos  con O2, y seguidamente hallamos la mediatriz de t1-O2 y de t2 O2.

Donde la mediatrices cortan a la recta m tendremos los centros que buscamos C1 y C2.

El ejercicio finaliza Hallando el punto de tangencia T’ y T” y deshaciendo la dilatación.

d) Circunferencias tangentes a dos circunferencias conocido el radio de la solución R. Fig. 184.

Este ejercicio podrá tener desde cero soluciones hasta un máximo de ocho.

Sean las circunferencias de radio r1 y r2, siendo  R el de la solución.

Aplicaremos el sexto lugar geométrico. Haciendo centro en O1 y con radios (R + r1) y (R-r1), trazamos dos circunferencias.

Con centro en O2 y con radios ( R + r2) y ( R-r2 ), trazamos otras dos circunferencias.

Los puntos donde las circunferencias anteriores se cortan serán los centros de las soluciones. C1 a C6.

Los puntos de tangencia se hallaran uniendo C1 con O1 y O2.

1.8. Circunferencias tangentes a circunferencias y rectas.

a) Circunferencias tangentes a una circunferencias y a una recta conocido el punto de tangencia  T en la recta. Fig. 185.

Podemos resolver el ejercicio por varios procedimientos. Aplicaremos el basado en las dilataciones.

Sea la circunferencia de centro O, la recta s, y un punto T en la misma.

A la circunferencia de centro O, le restamos su propio radio r, reduciéndose a un punto. Dicho radio lo sumamos a la recta s, obteniendo las rectas s’ y s”.

Trazamos una perpendicular por T. El punto de tangencia, ocupará las posiciones T1 y T2.

El ejercicio se ha transformado en “ circunferencia tangente a una recta en un punto de ella y que pasa por un punto exterior”. Ejercicio visto con anterioridad.

Las circunferencias con centro en C1 pasaran por O y T1 . La de centro C2 y T2. Deshacemos las dilatación y Tendremos la solución, hallando previamente los  puntos de tangencia t1 y t2.

b) Circunferencias tangentes a una circunferencias y a una recta conocido el punto de tangencia. Fig. 186

Fig. 186

Sea la circunferencia de centro O, la recta t y el punto de tangencia en la circunferencia T.

Teniendo en cuenta el lugar geométrico que hemos numerado como siete, el centro que buscamos debe estar en la recta que une el punto de tangencia T con el centro O.

Todas las circunferencias que pasen por T, tendrán como radical la recta e.

Todas las circunferencias tangentes a la recta t, Tendrán como eje radical la propia recta t. Por tanto Cr, será el centro radical de todas las circunferencias que pasen por T y sean tangentes a la recta t.

Bastará con llevar la distancia de Cr T, sobre la recta t, para obtener los puntos de tangencia T1 y T1. Una perpendicular a t, nos determinará los centros C1 y C2.

Se podía haber resuelto el problema hallando la bisectriz de los ángulos α y β.

c) Circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta s conocido el radio r de las soluciones. Fig. 187.

Resolveremos el problema por lugares geométricos.

Fig. 187

Aplicaremos el lugar geométrico nº 6. Trazamos dos circunferencias concéntricas

con la dada de valor suma y recta de R y r.

Aplicamos el lugar geométrico nº 3.Trazamos dos rectas paralelas a la recta sdada, a la distancia de r.

Los puntos de intersección de las circunferencias auxiliares de radio R+r y R-r y las rectas s1 y s2, serán los centros de las seis soluciones.

Finalmente hallaremos los puntos de tangencia, uniendo C1 con O, punto t1 y trazando por C1 una perpendicular a r, punto t2.

Haremos la misma operación con el resto de los centros.

D) Circunferencias tangentes a tres rectas. Fig. 188.

Fig. 188

Sean las rectas r, s, t, al cortarse forman un triángulo, y ello nos reducirá el problema a trazar las circunferencias inscritas   a dicho triángulo.

Dibujamos las bisectrices de los ángulos de las rectas dadas y buscamos los puntos de Intersección C1, C2, C3, C4.

Los puntos de tangencias se hallaran trazado por los centros C1, C2, C3, C4. rectas perpendiculares a las dadas.

RELACIONES GEOMÉTRICAS

 RELACIONES GEOMÉTRICAS

PROPORCIONALIDAD

Proporcionalidad es la relación que existe entre 2 figuras de igual forma y distinto tamaño.

Razón (K)

Dados 2 segmentos a y b, la razón es la relación entre las longitudes de ambos segmentos. Dados 4 segmentos (a, b, c y d) tomados dos a dos, se dice que son proporcionales si las razones son iguales: a/b=c/d. (Fig.1). Se denominan medios: b y c. Son extremos: a y d

Proporcionalidad directa:

Dos magnitudes son directamente proporcionales si varían de tal forma que su razón permanece constante. a/b=a’/b’=a”/b”=… = K

Proporcionalidad inversa:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si varían de tal forma que su producto permanece constante. a·b=a’·b’=a”·b”=… = K

TEOREMA DE TALES Y APLICACIONES

Si un haz de rectas paralelas cortan a 2 rectas concurrentes (Fig.2), los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los determinados sobre la recta s. Son directamente proporcionales. AB/A’B’=BC/B’C’. También se cumple: AB/BC=A’B’/B’C’. Aplicaciones del Teorema de Tales:

División de un segmento en partes iguales

A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales (Fig.3).

División de un segmento en partes proporcionales

Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada (Fig.4).

CUARTA PROPORCIONAL DE UN SEGMENTO Y APLICACIONES

Dados tres segmentos a, b y c, se denomina cuarta proporcional a un segmento d si éste cumple: a/b=c/d. Se trata de buscar un segmento ‘d’ que mantenga esta proporcionalidad.

Trazamos 2 rectas r y s concurrentes en O.  Trasladamos los segmentos a y b sobre r a partir de O y c sobre s a partir de O. Unimos el extremo de ‘a’ con el extremo de ‘c’ y trazamos una paralela a esta recta por el extremo de ‘b’ obteniendo el extremo del segmento ‘d’ buscado y cuarta proporcional, pues se cumple que c/d mantiene la proporción a/b según el Teorema de Tales visto (Fig. 5).

Producto de 2 segmentos: a·b=c

Si se toma un segmento como unidad (u) y dados los segmentos a y b, se observa que: u/a=b/x; a/u=x/b; a·b=x·u; a·b=x. Por tanto, el segmento x es la cuarta proporcional de u, a y b, y el producto de a y b (Fig. 6).

Cociente de dos segmentos: a/b=x

Si se toma un segmento como unidad (u) y dados los segmentos a y b, se observa que: b/a=u/x; a/b=x/u; a/b=x. Por tanto, el segmento x es la cuarta proporcional de u, a y b, y el cociente de a y b (Fig. 7).

TERCERA PROPORCIONAL DE 2 SEGMENTOS Y APLICACIONES

Dados 2 segmentos a y b, es c tercera proporcional si se cumple que: a/b=b/c. Trazamos 2 semirrectas r y s con origen común llevando a y b a una de ellas desde el punto de intersección y b a la otra. Trazamos una paralela por el extremo b de la primera semirrecta a la unión de los otros dos extremos (Fig. 8).

Cuadrado de un segmento: b2=x

(Fig. 9) Dado b, tomamos como ‘a’ en la construcción un segmento de una unidad ‘u’ y se obserba que: u/b=b/x; b/u=x/b; b·b=x·u; b·b=x; x=b2

MEDIA PROPORCIONAL Y APLICACIONES

Dados los segmentos a y b, se denomina media proporcional al segmento c, si cumple: a/c=c/b. También se observa que: a·b=c2; c=√a·b

Podemos obtener la media proporcional mediante 2 procedimientos:

1. Teorema de la altura

Situamos los 2 segmentos dados uno a continuación del otro. Se traza una semicircunferencia de centro en M, punto medio de la suma de a y b (Fig. 10). Por el punto de contacto de los segmentos trazamos una perpendicular a estos que corta a la circunferencia y obtenemos la media proporcional buscada c.

2. Teorema del cateto

Dados los segmentos AB y AC (Fig. 11), los superponemos, trazamos el arco capaz de AC y le trazamos una perpendicular por B hasta cortar a la semicircunferencia. Desde la intersección obtenida unimos con A y obtenemos el segmento ‘x’, la media proporcional buscada. Aplicaciones de la media proporcional

Raíz cuadrada de un segmento ‘a’

Tomamos un segmento de una unidad de longitud ‘u’ y lo ponemos a continuación del segmento dado ‘a’ y obtenemos x como hemos expuesto en el teorema de la altura. √a=x; a=x2; a=x·x: a/x=x/u