Muy importante en perspectiva caballera es aplicar siempre el coeficiente de reducción. Nosotros trabajamos con el coeficiente de reducción 1/2 pero hay que conocer y utilizar los demás.
La proyección Axonométrica de un cuerpo es la proyección ortogonal del mismo sobre el plano del cuadro. Se denomina plano del cuadro a un plano cualquiera que corta el triedro fundamental de proyección en tres puntos. Esta perspectiva presenta tres ejes XYZ no existiendo perpendicularidad alguna entre ninguno de sus ejes. Estos tres ejes se unen en un punto llamado “O”, pero formando entre si ángulos agudos y obtusos, nunca ángulos rectos. El único eje que no cambia es el Z, que siempre es vertical. Las características principales del sistema Axonométrico son las siguientes:
- Que los tres ejes XYZ, situados en el espacio real, son perpendiculares entre si.
- Que en la perspectiva Axonométrica los ejes forman, generalmente ángulos obtusos (mayores de 90º).
- Que cada dos ejes determinan un plano, formando entre los tres, un triedro rectángulo.
- Que los tres ejes, y con ello los tres planos, determinan las tres direcciones del espacio real: Anchura, Profundidad y Altura.
Vamos ver en primer lugar una introducción al tema.
En la imagen apreciamos los tres tipos axonometrías
Nosotros vamos a trabajar la perspectiva isométrica y la perspectiva caballera este trimestre.
Después de los vídeos de introducción trabajamos el concepto de reducción en los ejes isométricos.
Hoy aprenderemos a dibujar un plano en perspectiva isométrica. Observamos las cuatro formas de definir un plano aplicadas a la perspectiva isométrica.
PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
Tipos de planos en perspectiva isométrica
Las circunferencias en perspectiva isométrica se dibujan como un óvalo. Este óvalo ya aprendimos a dibujarlo cuando trabajamos las curvas cónicas ( buscar en los apuntes del primer trimestre)
Acceder a esta página e ir practicando los ejercicios de piezas aumentando el nivel de dificultad progresivamente.
El último tema del sistema diédrico que vamos a trabajar son los poliedros regulares. Únicamente vamos a estudiar el tetraedro ,el hexaedro y el octaedro .El icosaedro y el dodecaedro no van a ser preguntados en la EVAU.
EL TETRAEDRO
Para desarrollar toda la teoría del poliedro hay que mirar este enlace.
En el cono se produce una sección que puede ser una circunferencia ,una elipse ,una parábola o una hipérbola, dependiendo del plano que seccione el cono. Observar la imagen .
Vamos a ver unos vídeos de la lámina que dejamos empezada el jueves ( el último de día de clase presencial ). Donde un cono es seccionado por un plano proyectante.
Sección de un cono por un plano proyectante
Sección de un cono por un plano paralelo a la línea de tierra
Habitualmente, las proyecciones en Sistema Diédrico Ortogonal de los planos, rectas y superficies representadas no muestran su forma real, las proyecciones sobre los planos de referencia generan deformaciones angulares y variaciones métricas cuando los elementos a representar están situados en planos oblicuos a los de proyección.
Para obtener la verdadera magnitud lineal y angular de un segmento, un ángulo o una superficie plana determinada colocaremos el plano que contiene a estos elementos o los elementos en sí, paralelos o contenidos en uno de los planos de proyección o viceversa, un plano de proyección paralelo a los elementos. De este modo las proyecciones se mostrarán en verdadera magnitud sobre el plano de proyección correspondiente pues, en proyecciones cilíndricas ortogonales, si las superficies a proyectar y el plano de proyección son paralelos o coincidentes no se producen deformaciones lineales ni angulares en la figura proyectada.
ABATIMIENTO DE LAS TRAZAS DE UN PLANO OBLICUO.
Abatiremos la traza vertical de un plano oblicuo Q sobre el plano horizontal de proyección. En realidad abatimos el plano en su totalidad pero es la traza vertical la que experimenta cambio gráficamente. La traza horizontal será la charnela del abatimiento permaneciendo por tanto invariable. Podemos trabajar de dos modos distintos:
Tomamos un punto A de la traza Q’ y lo abatimos sobre el plano horizontal en A1, uniéndolo con N, punto de concurrencia de las trazas sobre la línea de tierra, obtendremos la traza Q’1 abatida. Para abatir el punto A, trazamos por él una recta R de máxima pendiente del plano, esta recta corta a la traza horizontal del plano en el punto m.
Las proyecciones del punto a’ y a, forman junto a m, un triángulo rectángulo cuya hipotenusa, el segmento a’m, es la recta de máxima pendiente del plano y debe de coincidir tras el abatimiento, por ser una recta del plano Q, con el plano horizontal de proyección. La recta de máxima pendiente es pues radio de un arco de circunferencia de centro m que tendremos que trazar hasta ubicarla sobre el plano horizontal de proyección y localizar así en su extremo la posición de A abatido.
Para poder trazar esta circunferencia representada en la figura 6 en visión espacial, en proyecciones diédricas, abatimos previamente el mencionado triángulo sobre el plano horizontal de proyección tomando como charnela su cateto am. Para ello trazamos una recta paralela a la traza horizontal de Q o normal al propio cateto am por a, llevando sobre ella y a partir de a, la magnitud del cateto aa’ que no es sino la cota del punto A conocida, obtenemos de este modo el punto a’0, vértice del triángulo abatido. Uniendo a’0 con m, invariable en este abatimiento previo, obtenemos la hipotenusa que no es sino la recta R abatida sobre plano horizontal de proyección y radio del arco que tenemos que trazar.
Situado el triángulo sobre el plano horizontal de proyección podemos trazar ya el arco de centro m y radio m-a’0 hasta cortar a la prolongación del cateto am en A1 punto buscado. Uniendo el punto n, vértice de las trazas del plano Q en la línea de tierra con A1, obtenemos la traza vertical del plano Q abatida sobre el plano horizontal de proyección en Q’1. Fig. 7.
En cualquier abatimiento, todos los puntos del plano abatido describen circunferencias situadas en planos normales al plano a abatir. Estas circunferencia tienen su centro en la charnela y radios que van desde el punto de intersección entre la circunferencia y la charnela a los respectivos puntos. Si los puntos están situados en una de las trazas (la contraria a la charnela escogida), los radios mencionados serán rectas de máxima pendiente o inclinación según abatamos sobre el plano horizontal o vertical de proyección respectivamente.
ABATIMIENTO DE UN PUNTO SITUADO EN UN PLANO DADO Q.
Cuando hablamos de abatir un punto, nos referimos a abatir el plano que lo contiene para poder de este modo ver la situación del punto en alguno de los planos de proyección, en este caso sobre el plano horizontal. Primero comprobaremos mediante una recta del plano, en este caso la horizontal T, que el punto pertenece efectivamente al plano Q.
Hacemos pasar por el punto dado A, una recta de máxima pendiente R y a partir de la proyección horizontal del punto, trazamos un segmento paralelo a la traza horizontal del plano cuya magnitud sea igual a la COTA del punto A, uniendo el extremo de este segmento, a’o, con el punto m de intersección entre la proyección horizontal de R y la traza Q del plano, obtenemos la hipotenusa del triángulo rectángulo radio del giro según vimos en el ejercicio anterior, primer método. Haciendo centro en m y con radio igual a la trazamos un arco hasta cortar a la prolongación de la proyección horizontal de R obteniendo así la ubicación sobre el plano horizontal del punto A abatido, A1. Fig.10
En la figura 11, hemos abatido el punto A sobre el plano horizontal de proyección auxiliándonos de la traza vertical del plano abatida en Q’1 según el segundo método del ejercicio anterior. Para ello hemos abatido un punto de la traza vertical, v’ en v’1 que unido con n define Q’1. Trazamos una recta perpendicular por la proyección horizontal de A a Q y una recta paralela a t por v’1 (recta horizontal T abatida en T1), donde ambas se cortan tenemos A1.
El abatimiento de un punto sobre el plano vertical de proyección se realiza del mismo modo pero a partir de una recta de máxima inclinación en el primer caso y auxiliándonos de la traza horizontal del plano dado, abatida sobre el plano vertical de proyección.
ABATIMIENTO DE UN SEGMENTO SITUADO EN UN PLANO DADO.
Para abatir un segmento dado AB, situado en un plano Q, comprobaremos primero que efectivamente pertenece al plano mediante, por ejemplo, rectas horizontales del plano Q, T y S que pasen por los extremos del segmento A y B respectivamente.
Abatiremos los puntos A en A1 y B en B1, sobre el plano horizontal en este caso, como hemos visto en las figuras 10 y 11, uniendo A1 con B1 tendremos abatido sobre el plano horizontal de proyección el segmento dado y por tanto en verdadera magnitud.. En la figura 12 se realiza el ejercicio a partir de una recta de máxima pendiente del plano que pase por A y en la figura 13 a partir de la traza vertical Q’ del plano abatida.
ABATIMIENTO DE UNA SUPERFICIE PLANA SITUADA EN UN PLANO DADO.
Como en el caso del segmento resuelto anteriormente, lo primero es comprobar si realmente pertenece dicha superficie al plano. Para ello emplearemos rectas auxiliares, por ejemplo, horizontales.
La superficie a abatir será en el ejemplo un triángulo obtusángulo de vértices A, B y C. El procedimiento a seguir es exactamente el mismo que el empleado en el abatimiento de un punto o de un segmento vistos anteriormente. En el ejercicio de la figura 14 el abatimiento se efectúa sobre el plano horizontal de proyección y se resuelve el problema por el segundo método estudiado, es decir, auxiliándonos de la traza del plano que contiene a la superficie plana abatida sobre el plano horizontal de proyección.
Podemos simplificar el trazado haciendo uso de la relación de afinidad existente entre una de las proyecciones de la figura y la propia figura abatida como veremos en el ejercicio siguiente.
ABATIMIENTO DE UNA SUPERFICIE PLANA, SIMPLIPLIFICANDO MEDIANTE AFINIDAD.
Una afinidad queda determinada como sabemos si conocemos el eje de afinidad, la dirección y la relación de afinidad o un punto afín de la figura dada.
La relación de afinidad entre las proyecciones diédricas de una figura y la figura abatida sobre uno de su plano de proyección correspondiente tiene como eje de afinidad la charnela de abatimiento y dirección de afinidad normal a la charnela, solo necesitamos conocer un punto afín de una de las proyecciones de la figura que no es sino un punto abatido por cualquiera de los métodos estudiados.
En el ejercicio de la figura 15, abatimos el punto A en A1 y resolvemos B1 y C1 por afinidad siendo n y ñ puntos dobles de esta relación. Podemos observar que el trazado del ejercicio se simplifica notablemente.
DESABATIMIENTO DE UNA SUPERFICIE PLANA SOBRE UN PLANO DADO Q.
Se puede dar el caso en que necesitemos situar un punto, segmento o superficie ubicados en uno de los planos de proyección, sobre un plano dado Q, tendremos pues que desabatir estos elementos invirtiendo los pasos estudiados en los abatimientos.
En el ejemplo de la figura 16, conocida la figura A1, B1 C1 abatida sobre el plano horizontal de proyección y dado el plano Q, desabatiremos el triángulo. Podemos desabatir uno de sus vértices y calcular el resto mediante la afinidad existente entre la superficie abatida y la proyección horizontal de la figura contenida en el plano oblicuo Q.
Para desabatir uno de los tres vértices, en el ejemplo el vértice A1, y dejar de este modo definida la relación de afinidad, operamos de modo inverso al abatimiento de un punto, para ello abatimos previamente la traza vertical del plano sobre el plano horizontal de proyección y obtenemos Q’1, trazamos por A1 una recta normal y otra paralela a la traza horizontal del plano y obtenemos en la intersección de esta última con Q’1 el punto m1. Por m1 trazamos una recta normal a la traza Q hasta cortar a la línea de tierra en m desde donde trazamos otra recta paralela a Q hasta cortar a la normal trazada por A1 a Q, obtenemos de este modo la proyección horizontal del punto A, a.
En esta operación nos hemos auxiliado de una recta horizontal del plano que contiene a A1 y la hemos desabatido para obtener la proyección horizontal de A. Obtenido a, y establecida por tanto la afinidad, trazamos las proyecciones horizontales de B y C. Para calcular las proyecciones verticales de la figura contenida en el plano dado Q, nos auxiliamos de rectas horizontales del plano Q que contengan a las proyecciones a, b y c. Obtendremos de este modo los puntos a’, b’ y c’.
Los problemas de distancias entre rectas, planos, rectas y planos, puntos y rectas etc., se reducen siempre a calcular la distancia entre dos puntos.
La verdadera distancia entre dos puntos no viene, en sistema diédrico ortogonal, reflejada en sus proyecciones salvo que el segmento que estos dos puntos definen sea paralelo o se encuentre contenido en uno de los planos de proyección.
Para poder apreciar en verdadera magnitud lineal la distancias entre dos puntos, colocaremos pues el segmento que entre los dos definen paralelo a uno de los planos de proyección, contenido en él o viceversa, colocamos uno de los planos de proyección paralelo al segmento en cuestión, utilizando para ello métodos como abatimientos, cambios de plano o giros.
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Vamos a resolver este ejercicio por 4 métodos distintos.
Dados dos puntos A y B por sus proyecciones diédricas, situaremos en los dos primeros métodos una de las proyecciones del segmento que definen paralela a uno de los planos de proyección convirtiéndolo en frontal u horizontal para apreciar la distancia entre A y B en verdadera magnitud.
1er método: mediante giro
Convertimos el segmento AB en, por ejemplo, recta frontal, es decir paralelo al plano vertical, tomando como eje de giro una recta vertical que pasa en el ejemplo de la figura 17 por el extremo B del segmento. La nueva proyección vertical del segmento determina la verdadera magnitud del mismo y por tanto la distancia real existente entre los puntos A y B.
2º método: mediante cambio de plano
Convertimos el segmento AB en una recta horizontal en el ejemplo de la figura 18 mediante cambio de plano horizontal. La nueva proyección horizontal del segmento se apreciará en verdadera magnitud.
3er método: mediante abatimiento
Calculamos las trazas de un plano Q que contenga a la recta definida por los punto A y B dados y abatimos el segmento sobre uno de los planos de proyección, en el ejemplo de la figura 19 abatimos sobre el plano horizontal de proyección a partir de la traza horizontal del plano. El segmento AB abatido está en verdadera magnitud.
4º método: simplificando el abatimiento
En la figura 20 podemos apreciar que la distancia entre los puntos A y B es la hipotenusa de un triángulo rectángulo en donde los catetos, conocidos, son uno la proyección horizontal del segmento AB y el otro la diferencia de cotas entre los puntos A y B. En realidad se está abatiendo el triángulo rectángulo abB sobre un plano paralelo al plano horizontal de proyección, tomando como charnela el cateto ab. Esta misma operación podemos realizarla tomando como catetos la proyección vertical del segmento a’b’ y la diferencia de alejamientos entre los puntos A y B.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
La distancia de un punto A a un plano P es un segmento (el segmento AE en el ejemplo), siendo E el punto de intersección entre el plano P y una recta perpendicular a él trazada por el punto dado A.
En proyecciones diédricas, trazamos directamente por A una recta R normal al plano dado P.
Para calcular el punto de intersección E entre la recta trazada R y el plano P nos auxiliamos de un plano que contenga a la recta, en el ejemplo de la figura 21 hemos tomado el plano Q proyectante vertical, la distancia entre los puntos A y E es la distancia buscada.
Para apreciarla en verdadera magnitud operamos según alguno de los cuatro métodos descritos en el ejercicio anterior. En el ejemplo se ha calculado la verdadera magnitud girando el segmento AE hasta convertirlo en frontal.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
La distancia de un punto A a una recta R es un segmento AE siendo E el punto de intersección de una recta D perpendicular a R y trazada desde A.
En proyecciones diédricas, la perpendicularidad entre rectas no se conserva por lo que no podemos trazar directamente por A la recta D mencionada.
Para resolver este ejercicio, trazaremos por A un plano P normal a la recta R. Conteniendo a la recta R trazaremos
un plano Q que genera con el plano P la recta T de intersección entre ambos. El punto de intersección E entre las rectas R y T será el extremo del segmento AE buscado. Fig. 22. A continuación detallo esta construcción en proyecciones diédricas.
Como ha quedado visto, para localizar el segmento AE, tendremos que auxiliarnos de un plano P perpendicular a R, este lo trazaremos auxiliándonos a su vez de una recta S horizontal que, conteniendo al punto A presente su proyección horizontal normal a la proyección horizontal de R. (Véase rectas perpendiculares entre sí). Conteniendo a la recta S y por tanto al punto A, trazamos el plano P perpendicular a la recta R.
El plano P trazado corta a la recta R en el punto E, extremo buscado del segmento. Para localizar dicho punto (intersección recta-plano), trazamos un plano auxiliar Q proyectante vertical en el ejemplo, que contenga a la recta R, la intersección de los planos P y Q genera la recta T y esta se corta con la recta R en el punto E.
El segmento AE, perteneciente a la recta D, nos proporciona en verdadera magnitud la distancia buscada entre el punto A y la recta R.
La verdadera magnitud del segmento se ha calculado por giro. Fig. 23
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
La distancia entre dos rectas paralelas R y S viene definida por un segmento AE perpendicular a ambas.
Al no poder trazar directamente en Sistema Diédrico Ortogonal rectas perpendiculares entre sí, tendremos que trabajar del siguiente modo:
Trazamos un plano P perpendicular a ambas rectas y calculamos los puntos de intersección A y E de este con las rectas R y S. Calculamos la verdadera magnitud del segmento AE.
Para calcular la intersección de las rectas R y S con el plano P, nos auxiliaremos de planos proyectantes O y Q que contengan a R y S respectivamente, estos generarán con el plano P las rectas de intersección T y K respectivamente. Los puntos de intersección de las rectas T con R y K con S son los puntos A y E buscados.
La verdadera magnitud del segmento AE no se resuelve en el ejemplo de la figura 24 para no restar claridad al dibujo.
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
Para calcular la distancia existente entre dos planos P y Q paralelos, bastará con trazar una recta R perpendicular a ambos.
El segmento AE definido por los puntos de intersección de la recta R con los planos P y Q determinará la distancia buscada. En proyecciones diédricas, trazaremos la recta R directamente perpendicular a P y Q.
Para calcular los puntos A y E (intersección recta-plano), trazaremos por R un plano O auxiliar (en el ejercicio de la figura 25, proyectante vertical) que contenga a la recta R, este genera en los planos P y Q las rectas intersección T y K. Los puntos de corte de estas rectas con R y S son los puntos A y E buscados. La verdadera magnitud del segmento AE se resuelve por cualquiera de los métodos estudiados.
MÍNIMA DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN
Para calcular la mínima distancia existente entre dos rectas que se cruzan K y R, trazamos por cualquier punto de una de las dos rectas una recta paralela a la otra recta dada (en el ejemplo del ejercicio 26 por el punto A de la recta R trazamos una recta T paralela a K).
Obtenemos de este modo dos rectas que se cortan y que por tanto definen un plano, el plano P.
Podremos obtener la distancia entre las rectas K y R sin más que trazar desde cualquier punto de la recta K (en el ejemplo el punto O) una recta S perpendicular al plano P, el segmento OE determina dicha distancia siendo E el punto de intersección entre la recta S y el plano P. Queda de este modo el ejercicio reducido a calcular la distancia de un punto a un plano ya estudiado en este tema.
